問題講評　旧数学I・旧数学A

〔１〕は、文字定数ａ、ｂを含むｘの２次方程式の問題。ａまたはｂの値を与えて２次方程式の解を求めている。最後にａの値と方程式の解についての必要条件、十分条件を問うている。〔２〕は、三角比の定義・正弦定理を用いて外接円の半径や線分の長さを求める問題。図形的な考察をすることで、計算量を少なくすることができる。

〔１〕は、噴水の形状を題材にした問題。（１）は、２次関数を決定する問題。（２）は、（１）を利用して、放物線とｘ軸の交点の位置を考察する問題。〔２〕は、社会生活基本調査の集計結果から各分野における「総平均時間」と「行動者平均時間」それぞれの平均について考察する問題。（１）の前半はヒストグラムを用いた通勤・通学について最頻値と平均値を求める問題。後半では平成28年と令和３年それぞれの年のデータを比較し、箱ひげ図から記述の正誤を判断することが求められた。（２）の前半は散布図を読み解き、後半は相関係数を求める。冒頭の用語の説明を正しく理解し、落ち着いて計算することがポイントであった。

二人または三人でじゃんけんを行い、３回以内で優勝者が決まる確率を求める問題。（１）は二人の場合の確率を、（２）、（３）は三人の場合の確率を考える。（２）以降では誘導に従って解き、二人が一人になるときだけ（１）の２／３に気付けるかがポイントであった。（３）は優勝者を決めるのに新しいルール２が設けられるが、（ⅱ）は従来のルール１から確率が変化するのは３回目に優勝者が決まる場合のみであることに気付くと解きやすかったであろう。

（１）は702を素因数分解し、正の約数の個数を求める問題、（２）は不定方程式9x－23y＝１の整数解のうち、ｘが正の整数で最小になるものを求める出題であり、ともに基本的な内容であった。（３）は702との最大公約数が９で、かつ23で割った余りが６であるような正の整数ｎについて考える問題であり、前問までの結果を利用して解き進める必要があった。（４）は、（３）の（ⅰ）の結果などに着目し、不定方程式が正の整数解をもつか否かに着目するのがポイントであった。

空間内の五面体と６頂点を通る球面に関する問題。（１）は、３直線が１点で交わることを証明する問題。問題文の誘導に従って思考する力が問われた。（２）は、側面の四角形と球面の交わり部分を考える問題。（ⅰ）では、相似を用いて連立方程式を立てるという誘導、（ⅱ）では、方べきの定理を用いるという誘導があり、それぞれの誘導に従って解き進めればよい。（ⅲ）は、（ⅰ）、（ⅱ）の結果をもとに、角度の大きさに着目して空間内の直線や平面が垂直であるかどうかを考える問題。空間内の直線や平面の位置関係が題材となっている点は目新しい。